数学史(20):希腊自然科学中的数学

科学需要实验．但实验不能绝对精确．如有数学理论，则全靠推论，就完全正确了。这是科学不能离开数学的原因，许多科学的基本观念，往往需要数学观念来表示。——陈省身

希腊人所建立的几门科学是从柏拉图时代起才发展出相当内容和定出方向的。

一、数理天文学

球面几何是为天文学而发展的。几何实际是宇宙学中的一部分。希腊人认为几何原理四体现在宇宙的整个结构中的，而空间是宇宙的主要组成部分。因此研究空间本身以及空间中的图形对于了解宇宙这个较大的目标极为重要。换言之，几何本身就是一门科学，关于物理空间的科学。

1.欧多克索斯

柏拉图强调指出对于行星的不规则运动缺乏内在的或统一的理论或解释。欧多克索斯着手解决柏拉图所提出的“整理外观”的问题，建立了第一个比较完整的天文学说。他写过四本天文书——《镜Mirror》、《现象Phenomena》、《八年周期Eight-Year Period》和《论速率On Speeds》，但如今只知道其内容的片断。

从地上看到的日月的运动可以粗略地描述成匀速圆周运动。但它们偏离圆轨道的程度大到足以被人观测出来因而需要加以解释。至于从地上所看到的行星运动就更复杂，因在它们运动的任意一圈的过程中，会在短期内倒过来走一段回头路之后再往前走，而且它们在这些路上的速率也是变化着的。

为了用几何来说明这些不规则的运动，欧多克索斯提出了如下的方案：任一天体都有三四个以地球为中心的同心球，而各个球都绕一轴转动。最里面的一个球是带着那个天体的，而天体则沿着球的所谓赤道运动，就是说转轴垂直于运动天体的圆形路径。不过这最里面的球在绕轴运转之时被下一个同心球这样带动：设想第一球的两轴延长而两端固定在第二个球上，则第二球在绕其轴转动时就带动第一球的轴一起转动。欧多克索斯发现用三个球就足以复制出从地上看到的日、月的运动。对于每个行星就要用第四个球，而这第四个球是带着第三个球的轴一起旋转的。每个组合的最外面的球，每24小时内绕一根通过天极的轴旋转一次。欧多克索斯总共用了27个球。

欧多克索斯的方案在数学上很优美并在许多方面很了不起。用球的组合这个想法本身就很巧妙，而选取球轴、半径和转速，使天体的合成运动符合实际观测数据的工作，则需要在处理曲面和空间曲线（即行星运动路径）方面有极大的数学技巧。

特别值得指出的是，他的理论是纯数学的。他所说的一些球，除了恒星所在的那个天“球”之外，都不是实际观察到的球，而只是数学的构想。他说有一些力使这些球转动，但没有设法讲明那是些什么力。他的理论是彻底符合现代精神的，因为如今科学的目标是作出数学描述，而不是寻求物理的解释。

欧多克索斯系统有严重的缺点，不能说明太阳速度的变化，并对其实际路线的描述也稍有错误。他的理论同火星的实际运动根本不相符，同金星运动的符合程度也不能令人满意。欧多克索斯之所以容忍这样的缺点，可能是由于他手头没有足够的观测数据。

2.亚里士多德

亚里士多德并不欣赏纯数学的方案。他为设计出让一球推动另一球旋转的实际机构，又在欧多克索斯的球之间增加了29个球，使一球的转动能通过实际接触推动另一球，而使所有球的动力来自最外面的那个球。他的56个球把这系统搞得如此复杂，使科学家不能置信，虽然它在中世纪有教养的世俗人士中间还是很风行的。

在奥托吕科斯（Autolycus）的著作《论运动的球On the MovingSphere》和《论升和落On Risings and Settings》以及欧几里得的《现象》之后，下一批天文学巨著是亚历山大时期学者写的。

3.阿利斯塔克

亚历山大时期的第一个大天文学家是阿利斯塔克，他所著《论日月的体积和距离》是第一个测量日月到地球距离和这些天体相对大小的重大尝试。他没有三角知识也没有π值，但把欧几里得的几何用得很得法。

他知道月光是反射光。当恰好半个月球被照亮时，在地球上的观察者可测出该处的角，阿里斯塔克测出的角是87度（准确值是89°52′），因此他估出太阳离地球与月球离地球的距离之比在18到20之间（正确值是346）。

求得了相对距离之后，阿利斯塔克就通过从地上看到的日轮和月轮的大小测定它们的相对大小。他得出的结论是太阳比月球大7千倍（正确值是6千4百万倍）。他又求得太阳直径和地球直径之比在19/3与43/6之间（正确值约为109）。

阿利斯塔克第一个提出日心说，恒星是固定的，它们看上去好像在转动，实际上那是地球自转的结果。月球是绕地球转动的。

但日心说不被当时的人接受，原因：其一，照亚里士多德的说法，重物趋向宇宙中心。只要你承认地球是宇宙的中心，这一原理就可用来说明物体落向地面的运动。但若地球也在运动，那么落体就会掉在后面。托勒玫曾用这个论点来反对阿利斯塔克，后人也拿它来反对哥白尼。托勒玫还说运动的地球会把天上的云抛在后头。其次，亚里士多德的力学需要有一种力来使地球上的东西保持运动，而又看不出有什么力。但我们不知道阿利斯塔克是怎样回答这些论点的。

另一个反对阿利斯塔克的论点是：如果地球在动，那它同恒星的距离就会变，而看起来却没有变。对此阿利斯塔克给予了正确的反驳：恒星天球的半径是如此之大，以至地球轨道相形之下小得微不足道。

阿利斯塔克的日心说之所以被许多人摈弃，是因为他把地上的朽物与天体的不朽之物视为等同，而且行星也不是绕日作圆周运动。日后哥白尼改进了阿利斯塔克的思想，但当时日心说对希腊人来说太激进了。

4.阿波罗尼奥斯

定量的数理天文学的奠基人是阿波罗尼奥斯。人们称他为厄泼色隆（希腊字母ε的读音），因ε这个记号常被用来表示月球，而阿波罗尼奥斯的大部分天文学是研究月球运动的。

希腊人在欧多克索斯和阿波罗尼奥斯所处时代之间搞出一套基本的天文方案，即本轮（epicycle）和均轮（deferent）的方案。一行星P在中心为S的一个圆周上作匀速运动，而S本身则在以地球E为中心的一个圆周上作匀速运动。S所沿着运动的圆叫均轮，P所沿着运动的圆叫本轮。对某些行星来说，点S就是太阳，但在其他情形下则只不过是数学上假设的一个点。P与S的运动方向可能相符，也可能相反。太阳和月球的情况就属于后一种。托勒玫把行星在轨道上停下来并开始逆行的点的确定特别归功于阿波罗尼奥斯。

5、希帕恰斯和托勒密

希腊天文学的顶点是希帕恰斯和托勒密的工作。希帕恰斯沿袭了均轮和本轮的这一套方案，并将其应用于当时所知的五大行星以及日月和恒星的运动。希帕恰斯在罗得斯观象台工作35年之后，并应用巴比伦人的观测数据，搞出了本轮运动理论的细节。他通过适当选取本轮和均轮的半径以及天体在本轮上的和本轮圆心在均轮上的运动速度，使他能把运动的描述加以改进。对太阳和月球的运动的描述他处理得很成功，但对行星的运动只能获得部分成功。自希帕恰斯时代之后，月蚀的时间能准确预报到一两个小时之内，但对日蚀的预报却不那么准。这一理论也可用以说明四季的来历。

希帕恰斯的独特贡献是发现了岁差（precession of the equinoxes）。为说明这一现象，设地球的旋转轴远及恒星天球。它与恒星天球的交点每隔26000年转动一圈。换言之，地轴相对于恒星的方向是不断变化的，而且这一变化是周期性的。它在任一时候所指向的那个星叫北极星。上述那个圆圈的直径在地球上的张角是45度。

希帕恰斯还在天文学上作出了其他许多贡献，如观测仪器的制作、黄道角的测定、月球运动不规则性的测量、太阳年日数的改进（他测到365天5小时55分12秒——比近代数字约长6.5分）以及大约一千个恒星星表的编制等。他求得月地距离与地球半径之比为67.74，而现代的数值是60.3。他算出月球半径是地球半径的1/3，而现代的数字是27/100。

托勒密推广希帕恰斯的工作。他在《至大论》里论述的那个推广了的理论，把周转圆和均轮这一套地心说理论作了完整阐释，故后人称之为托勒密理论。

为使这套几何说法符合观察数据，托勒密对周转圆上的运动加上一种变动，叫做均匀平化运动（uniform equant motion）。行星绕中心为Q的一周转圆运动，而Q沿以C为圆心的圆周运动，不过这里的C不是地球而是稍偏离一点。为确定Q的速度，他引入一点R使EC=CR，并使∠QRT匀速增大。这样Q就以匀角速度运动，但不是以匀线速度运动。

希腊天文学家所采取的方法和所获得的理解是有彻底现代精神的。希帕恰斯和托勒密都亲自作观测。事实上希帕恰斯并不信赖古代埃及人和（巴比伦）加尔迪亚人的观测数据而重新进行观测。古典时代和亚历山大时代的天文学家不仅提出理论，并且也充分认识到这些理论并非真正的设计方案，而只不过是能符合观测数据的一种描述。托勒密在《至大论》第八篇第2章末段说，天文学应力求使数学模型最为简单。他们并不寻求关于运动的物理解释。托勒密在《至大论》第九篇中说：“总之，一般说来第一性原理的终因若不是无关紧要便是很难说明其本质的。”不过他自己的数学模型以后却被基督教人士视为只字不可改的真理。

托勒密的理论提供了第一个相当完整的证据，说明自然是一致的而且具有不变的规律。在整个希腊时期没有任何一部著作能像《至大论》那样对宇宙的看法有如此深远的影响，并且除了欧几里得的《原本》之外，没有任何别的著作能获得这一毋庸置疑的威信。

几乎每一位希腊数学家，包括阿基米德在内，都研究过天文学。希腊天文学是高明而又广博的，并且应用了大量的数学。

二、地理学

地理学也是奠基于古希腊。虽然有少数几个古典时代的希腊人如阿那克西曼德和米利都的赫卡托伊斯（Hecataeus，死于公元前约475年）曾绘制了当时所知地面的地图，但到了亚历山大时期地理学才有了大的进展。由于希腊世界的范围扩大了，更促使希腊人去研究地理。

亚历山大时代的第一个大地理学家是埃拉托斯特尼。此人是亚历山大图书馆馆长、数学家、哲学家、诗人、历史学家、语言学家、年表学家，并以古代最有学问的人闻名于后世。他曾在雅典柏拉图的学校里求过学，后被托勒密三世延请到亚历山大。

埃拉托斯特尼最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长。在赛伊尼（Syene）即如今叫阿斯旺的那个地方，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶，这是从日光直射进该处一井内而得到证明的。

亚历山大在赛伊尼之北而几乎（1度之内）在同一子午线上，其天顶方向（图中的OB）与太阳方向（图中的AD）的夹角测得为360度的1/50。这说明SA弧是地球周长的1/50。据此埃拉托斯特尼计算地球周长为24662英里。这个结果比以前一切估算的结果精确得多。

埃拉托斯特尼写过《地理学Geography》一书，其中载入了他所作测量和计算的方法和结果。他还在书中说明了地表变化的性质和原因。他还绘制过世界地图。

科学方法绘制地图成为当时地理工作的一部分。希帕恰斯发明了正交投射法，用无穷远处射来的“光线”把地球投射到一个平面上。我们看到的月球实际上就是它的正交投射图。他用这个方法就可把一部分地面画在一个平面上。

托勒密在他的《平球法Planisphaerium》中用了球极平面投影法，从O作一直线通过地球上一点P延长到赤道平面或另一极处的切平面。这样就把球面上的点映射到一个平面上。子午线和纬线是垂直的。球面上的圆在图面上还是圆，但面积变了。托勒密自己又发明了一种锥面投影法，就是把地面上一块区域从地心投射到一个相切的锥面上。

托勒密在包含八篇的《地理学》（Geographia）中讲述了绘制地图的方法，可说是第一本地图集和地名辞典。它给出了地球上8000处地方的经纬度，在好几百年间是一本标准的参考书。

三、力学

希腊人开创了力学。

1.亚里士多德

亚里士多德在他的《物理学Physics》中编辑了一套运动的理论，成为希腊力学的最高成就。他的力学是从一些理性的似乎是不言自明的原理出发讲述的，但这些原理仅仅得自观察或略经实验核证。

按亚里士多德的说法，运动有两类，一类是天然的，另一类是激发的或人为的。天体只有天然运动——圆周运动。而地上的东西能有天然运动是因为每种物体在宇宙中有其平衡于其它物体或获得静止的自然位置。重物以宇宙中心即地心为自然位置。轻物（如气体）的自然位置在天上。当物体趋向它的自然位置时就引起天然运动。激发运动则是由圆周运动和直线运动组成。

运动中的任一物体都受到力和阻力。在天然运动情况下，力就是物的重量，阻力则来自物运动所经过的媒质。在激发运动情况下，力来自人的手或某种机构，阻力则来自物的重量。没有力就没有运动，没有阻力运动就会一下子完成。任何运动速度取决于力和阻力。

由于天然运动中的阻力来自媒质，在真空中的速度将为无穷大，因此真空是不可能有的。物体之所以随着其接近天然位置为增大速度，是因为物体运动得更加欢乐。但这同速度取决于固定重量的说法不一致。

2.阿基米德

希腊最大的数学物理学家是阿基米德。任何别的希腊学者都没有像他那样把几何与力学结合得如此紧密，并像他那样巧妙地善用几何论点来作证明。

阿基米德在力学方面写过《论平板的重心The Centers of Gravity of Planes》[，共含两篇。他开头提出关于杠杆和重心的一些公设，例如：

1）（离开杠杆支点）等距离的相等重量处于平衡，不等距离处的相等重量不平衡而朝着距离较远处的那个重量倾斜。

2）若在（离开杠杆支点）某两个距离处的两个重量处于平衡，而在其中一重量上加一物，它们就不再平衡，朝着加物的那个重量倾斜。

5）面积不同而相似的图形，其重心也在相似的位置......

7）凡周边凹向同侧的任一图形，其重心必在图形内部。

他在这些公设之后列举了一些命题，其中有些证明要依据其失传著作《论杠杆》中的结果：

命题4. 若两个相等重量的重心不在同一个地方，则它们合在一起的重心乃是其重心连线的中点。

命题6与7. 两个量，不管其可公度与否，其到平衡处的距离与该两量成反比。

命题10. 任一平行四边形的重心是其对角线的交点。

命题14. 任一三角形的重心，是其任两顶点与其对边中心所作两根连线的交点。

第二篇论述一抛物线弓形的重心。其主要的定理有：

命题4. 为一直线所割出的任一抛物线弓形的重心位于该弓形的直径上。

直径是AO，这里O是BD的中点，而AO平行于抛物线的轴。证明要利用他在《抛物线的求积》一书中的结果。

命题8. 若AO是抛物线弓形的直径，G是它的重心，则AG = (3 /2) GO。

求重心的工作在亚历山大时期的许多书里都有。例如海伦的《力学Mechanica》和帕普斯的《数学汇编》的第八篇。

流体静力学是阿基米德建立的。在《论浮体》一书中，论述了水施于浸入其中物体的压力。他提出两个公设。第一个是说液体任一部分施于液体的压力是朝下的。第二个公设说液体对置于其中一物的压力是沿着通过该物体重心的一根垂线向上的。他在第一篇中证明的一些定理是：

命题2. 任一静止液体的表面是中心在地心处的一个球的球面。

命题3. 凡与等体积液体等重的固体，若置于液体内，必将浸没到使其表面不致露出液面，但不会浸得更深。

命题5. 若将轻于液体的任一固体置于液体里，它将下沉到这样的程度，使该固体【在空气中】的重量等于其推开的液体的重量。

命题7. 若将一重于液体之物置于液内，它将下沉到液底，且若在液体内衡其重量，则其轻于原重之数等于其所排液体的重量。

最后这个命题一般认为是阿基米德据以确定那个王冠成分的。阿基米德确实找出金冠里掺了银。

为了解阿基米德著作中所处理的问题在数学上和物理上的复杂程度，摘录第二篇中一个简单的命题。

命题2. 有一旋转抛物体的正截段，其轴不超过3p/4（p是生成抛物线的正焦弦或主参量），其比重小于液体。若将它浸入液体中使它的轴与垂直方向成任一角但不让截段的底接触水面，则该抛物体截段不会停留在那个位置，而要回复到使它的轴处于垂直方向的位置。

阿基米德处理的是物体在水里的稳定性问题。这些问题显然是对船舶在水里受倾侧后所出现情况的理想化描述。

四、光学

除天文学外，数学里搞得最经久最成功的要算是光学了。光学是希腊人创立的。从毕达哥拉斯以后的几乎所有希腊哲学家都探讨过光的性质、视像和光色。数学方面的第一项成就是西西里岛阿格里根（Agrigentum）的恩培多克勒先验地提出的光以有限速度行进的说法。

光学方面的第一批系统性的著作是欧几里得的《光学》和《镜面反射》。《光学》研究视像问题以及怎样从视像确定物体的大小。欧几里得先摆出定义（其实是公设），他的第一个定义说人之所以能看到东西（产生视象），是因为从眼睛里发出的光循直线行进照射到所见的物体上的缘故。第二个定义说视线成一锥体，其顶点在眼睛处，其底面在所见物体的最远端。定义4说两物中若一物所定视线锥的顶角较大，该物看起来就显得较大些。

然后在命题8中欧几里得证明两个相等而平行的物体（下图中的AB和CD）的视观大小并不和它们到眼睛的距离成比例。命题23到27证明眼睛看球实际所见的不到球的一半，而所见部分的外廓是个圆。命题32和37指出看一个圆，只有当眼睛在圆平面圆心处的垂线上时，所见的才是一个圆。欧几里得又指出怎样从平面镜里所见的镜像来算出实物的大小。书里共有58个命题。

《镜面反射》描述从平面镜、凹面镜和凸面镜反射出来的光的习性以及它对我们视觉的影响。定理1讲反射律，这是几何光学的基本定律（下图）。欧几里得还证明了光线照射在凹或凸镜面上的规律，他是以光线照射镜面处的切平面代替镜面来证明的。

海伦在他讲凹镜、凸镜和复合反射镜的《镜面反射》一书中，从反射律推出了一个重要的结论，即光沿最短路径传播。（注：把实际路径理解为在限制条件下的极值问题，这是一个非常重要的思路，变分法的源头。往前一步，就可以推出光的折射定律。再往前一步，理论力学也可以这样理解，即最小作用量原理。）

有不少著作是论述光线在各种形状镜面上的反射的。其中有阿基米德所著而现已失传的《镜面反射Catoptrica》以及狄奥克莱斯和阿波罗尼奥斯所写书名同为《论点火镜On Burning-Mirrors》的两部著作。点火镜是呈球面形、旋转抛物面形和旋转椭球面的凹面镜，它们可以把平行光聚集在焦点。据说阿基米德就是利用抛物镜面的这一性质把日光集中到罗马船上使它们起火的。

光的折射现象曾为亚历山大时期的希腊人所研究。托勒密注意到来自太阳和星星的光线受大气折射的影响，并打算（没有取得成功）找出光线的折射规律。他所著关于镜面和折射的书《光学Optics》流传到今天。

五、占星术

在早期文明社会中是把占星术当作科学的。巴比伦人的占星术只是从观察行星的位置来推出关于君王和国家大事的结论。他们不搞计算，人出生时刻的星象是不起作用的。但希腊或亚历山大的占星术是牵涉到个人的，它根据所算出的黄道带里的日、月和五大行星在出生时刻的位置，可知其人的未来和命运。

托勒玫写了一本出名的书，叫《四书Quadripartite或Tetrabiblos》或《论星辰影响的四书Four Books Concerning the Influence of the Stars》，其中指出了如何根据星象来预卜未来的规则。这书被人使用了一千年。

占星术在科学史上的意义在于其促进了天文学的研究，在希腊、印度、阿拉伯和中世纪的欧洲都是如此。占星术培育了天文正如炼金术培育了化学。奇怪的是，人们把占星术预言的错误归咎于天文计算的错误，而并不归咎于占星术说法的不可靠。

在亚历山大希腊人那里数学开始被应用于医学，特别是通过占星术的媒介。有的医生就叫医道数学家，是根据占星术的征象来决定医疗方法的。古希腊的大医生盖伦坚信占星术，这也许情有可原，因最闻名的天文学家托勒玫也信占星术。数学和医药的这一联系在中世纪变得更加密切了。

柏拉图写的对话《爱好者Philebus》说，每门科学只有当它含有数学时才成其为科学。这一原则从希腊人所取得的重大成就得到最有力的支持。此外，希腊人的研究提供了充分证据说明自然是有其数学设计的。他们对自然的见解以及他们开创用数学方法研究自然，在希腊时代及其后各个世纪激起了数学的创造发明。