几天前在一位朋友那里看到一道简单的高中函数题，却引起了网络的激烈争论，各路“高手”都开始摆事实讲道理，“大显身手”，实际上都暴露了一个很大的“通病”：最基础方法被完美晾成空摆设。虽然大家脑海里都应该存储着这最基础的方法，但是运用时却像忘得一干二净了一样，完全没有想起调动出来。
一、函数题目及正误解法分析
给出复合函数的解析式，求原函数的定义域。
⒈错误解法及分析
①一些人是求出由复合函数f(x²-3)的解析式本身的限制，及内层函数u=x²-3本身的值域，取交集共同确定内层函数的取值范围，即f(x)的定义域。
他们的依据是“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”。
②一些人还用换元法由f(x²-3)的解析式求出f(x)的解析式。最后由f(x)的解析式本身的限制，再与前面求得的内层函数的取值范围取交集，即f(x)的定义域。
他们的依据同上。这种做法在同上面一样理解反了的情况下，实际上已经是多此一举，白费力做无用功而已。因为上面求出的内层函数的取值范围，已经经过了解析式本身对内层函数u的限制这一关，这一关跟f(x)的解析式本身的限制是完全一样的，多此一举结果不会有任何变化：
上面求出的复合函数内层函数的取值范围
=复合函数f(x²-3)的解析式本身对内层函数u的限制∩内层函数u=x²-3本身的值域
=f(x)的解析式本身的限制∩复合函数内层函数u=x²-3的值域。
网络上很多人（包括部分高中数学老师）和一些参考书都用了上面这两种错误的解法，当给出下面的正确解法时，他们反而犯难，甚至有被绕晕的感觉，觉得违背了“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”的依据。
依据本身是对的，但是他们理解错了，依据用反了。正确的理解是复合函数f(u)内层函数u=x²-3的取值范围包含于f(x)的定义域，因为内层函数本身值域的限制是它内层函数的对应法则自己附加的，但它整体还必须再受到外层函数的对应法则的限制（即f(x)的定义域）。
下面顺便看看“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”在一些高中数学题目中是怎么正确运用的。
一般是给出原函数的解析式及定义域，求复合函数的定义域或值域，而不会给出复合函数的解析式，求原函数的定义域，因为很容易引起误解，本文也只是浅浅地讨论一下。
⒉正确解法
用换元法由f(x²-3)的解析式求出f(x)的解析式，分类讨论思想，其中若有定义的f(x)的解析式一致，f(x)解析式本身的限制即f(x)的最大定义域。
二、换个角度春暖花开：最基础的方法——一般化与特殊化
很多人脑海中简单地重复着“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”的依据，理解错了还一直沉浸在自己错误的小世界中无法自拔，只是因为他们把最基础的方法完全抛之脑后，让最基础的方法完全成为了一个空摆设。
其实只要不总是沉浸在自己个人的小世界中，只需要换个角度，运用一般化与特殊化，即可春暖花开。一般化与特殊化是处理或解决数学问题的最基础的方法之一，在数学学习中尤为重要。
复合函数f(u)内层函数u=g(x)的本质是对一般化函数f(x)的自变量的特殊化，虽然上面题目中一般情况的f(x)解析式由特殊化后的复合函数f(x²-3)解析式用换元法求出，但是f(x)不能等同于复合函数外层函数f(u)，定义域自然也就不等同，本质始终是f(x²-3)是特殊情况、f(x)是一般情况。特殊化情况必然包含于一般化情况之内，g(x)的值域∩f(x)的定义域=u的取值范围⊆f(x)的定义域。
对于一般化函数f(x)，其特殊化函数f(u)的u=g(x)可以是任意解析式或表达式，甚至常数，除了f(x²-3)，还有很多，比如：
f(x³-2x²+3)、f(4x-5)、f(lnx)、f[lg(x²-5x+6)]、f[(x-2)/(3x+4)]、f(xⁿ)、f(eˣ)、f(sinx)等等。
其特殊化的区别只在于u=g(x)的值域，在f(x)的定义域的基础上进一步限制了u的取值范围。f(x)的定义域始终是那个定义域，并不会因为特殊化复合函数内层函数的取值范围的变化而变化。
下面就以一个最特殊化的情况来再次对照和说明上面的问题：自变量特殊化为常数，难道一般化函数的定义域就是这个常数了？显然不可能！而是要用到分类讨论思想：
这样一进行“最特殊化”，作为对照，上面的问题也就能得到很好的说明，也就瞬间理解了。
三、深刻反思
⒈概念结论要真正深刻地理解透彻
很多人对中学数学基础概念、结论等等记忆得非常牢固，但是缺乏真正深刻的理解，遇到弯弯绕绕可能就走错了岔路。数学是最具理科性质的科目，很多的基础概念、结论等等真正深刻理解了，不需要死记硬背，自然而然就在你脑海里根深蒂固了，而运用时在脑海里调动起来也更为迅捷。不过大家不要误解，绝对不是喊大家不用去记忆了，记忆还是需要的，虽然很多人一时半刻也没能理解得那么透彻，但是大多数的题目都是没有弯弯绕绕的，所以没理解透彻也先记着，这样至少走大多数的直路先够用了。
⒉条条大路通罗马，此路不通彼路通，灵活运用基础方法，别让基础方法成摆设睡大觉
一些数学问题是有多种方法都可以解决的，如果当你对一种方法解决某个问题不是百分之百地确定无误时，那么换用你确定万无一失的方法。不要死板地“在一棵树上吊死”，不要一直握着自认为记忆牢固了，实际上却运用错误了的结论或方法不放手，还跟大家作一些无谓的激烈争论，换个角度换条思路换种方法或许遮住眼睛的浮云立即就散了。就像最上面的题，有些人对“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”的结论没理解透彻，不妨换“一般化与特殊化”来理解，或许就豁然开朗了。
综上，本来是一道极其简单的高中数学题，因为对基础结论的理解不够透彻，对基础方法的运用不够灵活，却引发了网络的激烈争论，甚至据说部分高中数学老师都被绕晕，一些参考书都解错，完全不至于。当然本文只是浅浅地略微讨论深刻思考一下，不足之处，请大家多指正交流。
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