初三数学竞赛提升试题1

1.如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动。当两个动点运动了x秒（0

(2)设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值?最大值是多少?

(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

2.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=2,P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P的右侧,且PE=1,连结CE.P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动。在整个运动过程中,图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是( )

A. 一直减小 B. 一直不变
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大

3.设△ABC的面积为1,如图①,将边BC、AC分别2等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图②,将边BC、AC分别3等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;以此类推,△AOB的面积记为S3、S4、S5、….则：

(1)S1=___；(2)Sn=___.(用含n的代数式表示,其中n为正整数)

4.如图,已知△ABC是面积为的等边三形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45∘,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于___(结果保留根号).

5.如图，在△ABC内任取一点P，过点P作三条直线分别平行于三角形的三边，这样所得的三个小三角形的面积S1，S2，S3分别为4，9和49，求△ABC的面积S.

6.如图,已知△ABC的三边长为a、b、c,且a

7.如图，△ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，P作BC的平行线，分别交AC于点F，Q。记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3。

（1）求证：EF+PQ=BC。（2）若S1+S3=S2，求的值。（3）若S3−S1=S2，直接写出的值。

8.如图,在△ABC中,AB=2,AC=,∠A=∠BCD=45∘，求BC的长及△BDC的面积。

9.如图,△ABC中.D、E分别是边BC、AB上的点,且∠1=∠2=∠3,如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是m、m、m,证明：